Curve di livello: galleria.

In questo post troverete delle immagini che raffigurano le curve di livello di funzioni che abbiamo preso in esame a lezione.

Per esempio l’immagine qui sopra raffigura le linee di livello della funzione $f(x,y) = \sin(\pi x)\sin(\pi y)\sin(\pi(x+y))$ . Queste invece sono le linee di livello della funzione $f(x,y) = x^3 -3xy+y^3$ :

Viste da vicino…

…e da piu’ lontano

Qui invece sono raffigurate le linee di livello di due forme quadratiche: la prima e’ $q(x,y) = x^2 +xy+y^2$ (definita positiva), la seconda e’ $q(x,y) = x^2 +3xy+y^2$ (indefinita):

linee di livello vicino ad un minimo

linee di livello vicino ad una sella

Le curve di livello vicino ad un punto critico non degenere avranno un aspetto molto simile alle curve di livello della parte quadratica (e quindi saranno del tipo raffigurato sopra). Cio’ non e’ piu’ vero nel caso la matrice Hessiana sia degenere. per esempio la funzione $f(x,y) = x^3 -3xy^2$ ha una sella degenere in zero

monkey saddle

mentre la funzione $f(x,y) = x^6 +y^6$ ha un minimo in zero, ma le curve di livello non sono per nulla simili ai livelli di forma ellittica di una forma quadratica

Ovviamente funzioni non derivabili ovunque possono avere curve di livello ancora piu’ strane. Per esempio la funzione $f(x,y) = |x|+|y|$ ha come livelli dei quadrati

mentre la funzione $f(x,y) = \sqrt{|x|}+\sqrt{|y|}$ ha sottolivelli concavi.

This entry was posted on sabato, 24 novembre 2012 at 09:18 and is filed under gnuplot, ingegneria. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

Analisi Matematica (e dintorni).